3月末に退職しました。
夏まで、職安に手続きせずにアルバイトをして、そのあと離職票提出すれば
何事もなく失業保険のお金はもらえますか？

一応、何事もなくお金をもらうことができます。ただし失業保険の給付を受けるためには以下のような条件がありますので、日数計算をする必要があります。
まず給付を受けることができるのは、退職日から１年以内です。その日を過ぎると、受給日数が残っていても残りの分は受けられません。
そして職安で手続きをした日から一週間の失業確認期間がありますが、退職理由が問題です。自己都合退職ならばさらにその後、三ヶ月の待機期間があります。これらの日数も「退職日から１年の締切日」の中に計算されます。あなたの給付日数は大丈夫でしょうか。
そういうわけで一番合理的なのは、いますぐ職安にいって一週間以上経ってから（職安に行かなければならない日が指定されますので、その日は必ず行きましょう。またその一週間にアルバイトをしていると、そもそも失業と認定されないなどの問題が生じます）アルバイトを始め、待機期間である三ヶ月以内にアルバイトを辞めることです。待機期間が過ぎてもそのアルバイトが続いていると、それもまた問題になってしまいます。
以上は概略の説明です。具体的で詳しいことは、職安でご相談下さい。

私が新しく勤めることになった職場のパートのお仕事は、物流業で日によって勤務時間が変動します。

契約では、週４日５時間勤務なのでギリギリ雇用保険に加入できる範囲です。

でも、会社の都合によって勤務時間をカットされて週２０時間を超えなかったら、その仕事を辞めたときに、雇用保険の失業保険？はもらえないのでしょうか？？

雇用保険受給の基本を申し上げますと、会社都合退職なら過去1年間に6ヶ月以上雇用保険被保険者期間があること、自己都合退職なら過去2年間に12ヶ月以上あるかどうかで決まります。それで判断して下さい。
「補足」
週20時間を超えてないと会社は雇用保険に加入義務がありません。ですので大丈夫ではありません。
会社が加入しなくて雇用保険被保険者期間が6ヶ月以上にならなければ受給が出来ません。

失業保険について質問です。昨年の８月に退職し、妊娠していたため受給期間延長をしていました。通常ならやめてから３ヶ月は支給されないですよね？
私の場合すでに退職してから３ヶ月は過ぎているので、今申請したら更に３ヶ月またなくてもすぐに受給されるのでしょうか？

すぐ貰えますよ求職活動すれば。 ただ 今の体じゃ仕事探しは無理でしょう。
ハローワークで失業保険の延長申請をしてください。(普通退職後)１年以内に受給完了しないといけないが 妊婦さん＆ママは すぐに働けない身体なので ４年以内に延ばしてもらえます)

主人の定年退職に伴い、６年半勤めた派遣会社（同一派遣先）を退職します。主人の故郷に引越しをしますが、その県内には、その会社の派遣先はないので仕事を続けられません。やはり失業保険は自己都合になりますか？

「自己都合」には２種あって、「正当な理由のある……」と「正当な理由のない……」に分かれます。

引っ越さざるをえない事情が生じたので引っ越すのなら「正当な理由のある自己都合」として給付制限がありません。
たとえば、結婚、配偶者の転勤などの場合ですね。

あなたの場合はちょっと該当しそうにないとおもいますが。

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